A261556, una sequenza nell'OEIS
Ultima modifica: 18 September 2026
A261556: i numeri che dividono i fattoriali delle proprie cifre
Nel 2015 ho proposto all’On-Line Encyclopedia of Integer Sequences una famiglia di interi che mi piaceva per quanto è semplice da scrivere e ostinata da enumerare. È diventata la sequenza A261556. Questa nota racconta che cosa sono quei numeri, che proprietà hanno, se è lecito congetturare che siano infiniti, e — soprattutto — chi ha messo le mani sulla scheda, in quali date, e che mestiere fa ciascuno.
L’intestazione del giardino usa una spirale di Ulam: i numeri naturali disposti a chiocciola, i primi in evidenza. Non è un grafico di A261556; è il ritratto più famoso della teoria dei numeri «vista da lontano». File originale: Wikimedia Commons, licenza CC0.
Spirale di Ulam fino a circa quattro milioni. Autore: あるうぃんす, 2014. Pubblico dominio (CC0).
Che cos’è l’OEIS
L’OEIS è l’enciclopedia online delle successioni di interi. Neil J. A. Sloane la cominciò da studente, negli anni Sessanta, su schede cartacee; nel 1973 uscì A Handbook of Integer Sequences (circa 2 400 voci), nel 1995 The Encyclopedia of Integer Sequences con Simon Plouffe (circa 5 500). Dal 1996 è in rete. Oggi la tiene l’OEIS Foundation, con decine di editor-in-chief volontari e qualche centinaio di associate editor. A settembre 2026 conta circa 399 000 sequenze.
Il gioco è questo: hai una lista di numeri e non sai se esiste già, o come si chiama, o se qualcuno ci ha dimostrato qualcosa. La cerchi. Se non c’è, la proponi. Un editor la rivede — definizione, termini, programmi, riferimenti — e, se regge, la pubblica con un codice A seguito da sei cifre. La mia è A261556.
Che cosa sono questi numeri
Un intero positivo (n) sta in A261556 se divide la somma di due quantità costruite sulle sue cifre decimali:
- il prodotto dei fattoriali delle cifre;
- la somma dei fattoriali delle cifre.
In formula, se (d_1,d_2,\ldots,d_k) sono le cifre di (n),
[ n \;\Big|\; \Bigl(\prod_{i=1}^{k} d_i!\Bigr) + \Bigl(\sum_{i=1}^{k} d_i!\Bigr). ]
L’esempio della scheda è (54):
- (5! = 120), (4! = 24);
- prodotto (120 \times 24 = 2880);
- somma (120 + 24 = 144);
- totale (2880 + 144 = 3024);
- (3024 / 54 = 56), resto zero. Quindi (54) appartiene.
I primi termini:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 17, 54, 86, 573, 768, 999,
6143, 94584, 159287, 27167549, 40548073, 72382636,
131092614, 340720926, 1161216721, 2955383683, 3892089702,
5304046976, 6554754648, 72338498624, 279445396448,
331043595868, 466026097373, 962499474063, 3082891291712
Sono 35 numeri noti. L’ultimo, (a(35) = 3\,082\,891\,291\,712), ha tredici cifre.
Spirale di Ulam a 150 iterazioni: primi in rosso, gli altri in blu con raggio legato al numero di divisori. Autore: Cortexd, 2005. Pubblico dominio.
Proprietà
Dipende dalla base. La definizione usa le cifre in base 10: l’OEIS la marca base. In un’altra base la lista cambierebbe.
Tutte le cifre da 1 a 9 ci stanno. Per un numero di una sola cifra (n), prodotto e somma coincidono con (n!), quindi (f(n) = 2\,n!), e (n) divide sempre. Lo zero è escluso (divisione per zero).
Lo zero non spegne il prodotto. (0! = 1), per convenzione. Un (0) in mezzo alle cifre non azzera (\prod d_i!). È il contrario dei numeri che «contengono uno zero e quindi il prodotto è zero».
Il prodotto è 7-smooth. I fattoriali da (0!) a (9!) hanno solo i primi (2, 3, 5, 7). Il prodotto delle cifre-fattoriali è quindi sempre della forma (2^a 3^b 5^c 7^d). La somma (f(n)) è quel numero liscio più un pezzo piccolo (al più (k \cdot 9!)). Per cercare termini nuovi conviene ragionare sui multiset di cifre, calcolare (f) una volta sola, e chiedere quali permutazioni dividono (f).
È sparsa, con buchi. Per numero di cifre i termini noti sono:
| Cifre | Quanti | Esempi |
|---|---|---|
| 1 | 9 | 1–9 |
| 2 | 4 | 13, 17, 54, 86 |
| 3 | 3 | 573, 768, 999 |
| 4 | 1 | 6143 |
| 5 | 1 | 94584 |
| 6 | 1 | 159287 |
| 7 | 0 | — |
| 8 | 3 | 27167549, … |
| 9 | 2 | 131092614, 340720926 |
| 10 | 5 | 1161216721, … |
| 11 | 1 | 72338498624 |
| 12 | 4 | 279445396448, … |
| 13 | 1 | 3082891291712 |
Sette cifre: nessuno. Dieci cifre: cinque. Non è monotona.
Parenti stretti. L’OEIS indica due sequenze vicine:
- A197181 — (n) divide solo il prodotto dei fattoriali delle cifre;
- A247227 — (n) divide solo la somma dei fattoriali delle cifre.
A261556 è, in un certo senso, la versione «prodotto più somma». I factorion (numeri uguali alla somma dei fattoriali delle cifre: 1, 2, 145, 40585) sono un’altra famiglia, più stretta: lì si chiede l’uguaglianza, qui solo la divisibilità.
Finita o infinita?
Non c’è un teorema. C’è un’euristica onesta.
Se (f(n)) si comportasse come un intero «casuale» modulo (n), e se (f(n) \ge n) (vero per quasi tutti gli (n): il prodotto dei fattoriali cresce in media come (10^{1{,}73\,k}) contro (k) cifre), la probabilità che (n) divida (f(n)) sarebbe circa (1/n). Sommando sui numeri a (k) cifre si ottiene circa (\ln 10 \approx 2{,}3) termini per ogni lunghezza.
I dati non smentiscono: dalle 2 alle 12 cifre ci sono 25 termini su 11 lunghezze, media (2{,}27). Il buco a 7 cifre sta dentro la varianza di un Poisson con quella media.
Congettura. La sequenza è infinita, con circa due o tre termini nuovi a ogni ordine di grandezza. Non è dimostrata: l’argomento tratta (f(n)) come indipendente da (n), mentre (f) è funzione delle cifre di (n). Resta un’indicazione, non una prova. Se la congettura è vera, dopo (a(35)) manca in media ancora un termine a 13 cifre, e poi una manciata a 14, 15, 16…
A settembre 2026 sto facendo girare la ricerca dei termini successivi su un Raspberry Pi 5, con checkpoint, così si può spegnere e riprendere.
Date, accettazione, chi ha contribuito
Questa è la parte che mi preme di più. Una scheda OEIS non è un articolo firmato da uno: è un oggetto collettivo, con data di allocazione, data di prima pubblicazione, e poi estensioni firmate. Qui sotto, i fatti presi dalla storia della scheda.
Cronologia
| Quando (EDT) | Cosa | Chi |
|---|---|---|
| 24 ago 2015, 12:31 | Allocato il numero A261556 | io |
| 24 ago 2015, 13:04 | Prima stesura: nome, termini fino a (a(23)=131092614), esempio 54 | io |
| 24 ago 2015, 22:13–23:52 | Jon E. Schoenfield riscrive il titolo nella forma attuale e calcola (a(24)) e (a(25)) | Jon E. Schoenfield |
| 25 ago 2015, 02:30 | Programma PARI/GP isok(n) e crossrefs a A197181, A247227 |
Michel Marcus |
| 25 ago 2015, 02:55 | Sistemo l’esempio su un suggerimento di Chris Gribble | io |
| 26 ago 2015, 16:47 | (a(26))–(a(30)), fino a 11 cifre | Giovanni Resta |
| 26 ago 2015, 18:11 | Programma Mathematica | Michael De Vlieger |
| 31 ago 2015, 10:50 | Reviewed da Marcus, prima approvazione da Resta. La sequenza è in OEIS | Marcus, Resta |
| 4 mag 2019, 20:11 | (a(31))–(a(34)), i quattro termini a 12 cifre | Chai Wah Wu |
| 4 mag 2019, 20:17 | Approvazione dell’estensione | Alois P. Heinz |
| 19 ago 2019, 08:17 | (a(35)=3082891291712), tredici cifre. È l’ultimo termine pubblicato | Giovanni Resta |
Due date da tenere distinte:
- 24 agosto 2015 — nasce la scheda (allocazione e prima bozza).
- 31 agosto 2015 — viene accettata (status
approved). Da quel momento A261556 è una voce dell’enciclopedia, non una proposta.
Poi silenzio di quasi quattro anni, un colpo di Wu nel maggio 2019, Resta di nuovo in agosto. Da allora la DATA non si è mossa. Non c’è un bound pubblicato del tipo «(a(36) > 10^{13})»: l’intervallo dopo (3{,}08\cdot 10^{12}) è, per quanto risulta dalla scheda, ancora aperto.
Chi sono, che cosa fanno
Io, Paolo Omodei-Zorini. Autore della definizione e dei primi 23 termini. Non sono un matematico di professione: ho proposto la sequenza perché la condizione mi sembrava naturale — un cugino dei factorion, ma con prodotto e somma — e perché non la trovavo già in enciclopedia.
Jon E. Schoenfield. Matematico per diletto, per anni editor OEIS. Sulla scheda ha fatto cose tipiche del suo mestiere: ha spinto i termini di un paio di ordini di grandezza, il giorno stesso della sottomissione. In wiki si descrive come longtime math hobbyist. Ha un articolo sul Journal of Integer Sequences (diagonali non intersecanti in un array). Le sue ultime modifiche pubbliche all’OEIS risalgono al 2024.
Michel Marcus. Editor-in-chief, fra i più attivi della redazione. Il primo giorno ha discusso il nome con me in una pink box, il secondo ha messo il programma in PARI/GP — il sistema di calcolo per la teoria dei numeri nato a Bordeaux — e i riferimenti incrociati. Senza di lui la definizione sarebbe rimasta zoppa. Gran parte del lavoro invisibile dell’OEIS (titoli, offset, programmi, reviewed) passa dalle sue mani.
Giovanni Resta. Ricercatore in informatica all’IIT-CNR di Pisa. Di mestiere fa reti, mobilità, algoritmi; per diletto (e con una serietà da laboratorio) è uno dei calcolatori di sequenze più rispettati dell’OEIS. Tiene Numbers Aplenty, un sito che classifica gli interi fino a 15 cifre su più di centosettanta proprietà. Sulla mia scheda ha messo i termini dal 26° al 30° (agosto 2015) e il 35° (agosto 2019). Ha anche dato il via libera alla prima pubblicazione.
Michael De Vlieger. Editor-in-chief. Architetto di formazione (Illinois Institute of Technology), vive a St. Louis, parla italiano. In OEIS è lo specialista di Wolfram/Mathematica, delle visualizzazioni e dei b-file. Il 26 agosto 2015 ha aggiunto il programma Mathematica della scheda, lo stesso giorno dei termini di Resta.
Chai Wah Wu. Principal Research Staff Member all’IBM Thomas J. Watson Research Center, IEEE Fellow. Formazione a Lehigh e Berkeley, lavori su caos, reti, grafi, sicurezza dei media; decine di brevetti. È anche sviluppatore di OEISsequences in Python e contributore di SymPy. Il 4 maggio 2019 ha trovato i quattro termini a dodici cifre — il salto più lungo in una volta sola dopo la nascita della sequenza.
Alois P. Heinz. Editor-in-chief, Maple, uno dei redattori che più sequenze approvano e tabulan. È l’inventore, in OEIS, della cosiddetta Heinz number di una partizione (codificare una partizione come prodotto di primi: A215366). Il 4 maggio 2019 ha approvato l’estensione di Wu.
Perché la tengo in questo giardino
Perché è una cosa mia che altri hanno reso migliore, con nomi, date e mestieri precisi. L’OEIS è l’opposto del web che dimentica: ogni riga della scheda ha un timestamp e una firma.
La spirale in testa alla nota è di Ulam, non mia. I numeri della lista, il primo giorno, sì.
Scheda: oeis.org/A261556. Storia completa: oeis.org/history?seq=A261556.